El, Nilo será el elemento determinante en el desarrollo de la civilización egipcia que desde principios del III milenio a.C. logró crear una entidad estatal que materializó la unión del Alto y el Bajo Nilo. En su desarrollo cronológico, la historiografía suele distinguir tres periodos: el Imperio antiguo (dinastías I a VI), en el III milenio a.C.; el Imperio medio (dinastías VII a XII), entre finales del III milenio y la primera mitad del II; y el Imperio nuevo (dinastías XIII a XX), desde mediados del II milenio hasta el primer cuarto del I milenio a.C. La edificación de los sucesivos imperios se estableció, con lógicas diferencias según los periodos, sobre la base de una fuerte monarquía teocrática, la formación de un potente ejército y una eficaz administración centralizada.

Los orígenes de la antigua civilización egipcia, que muchos consideran como una de las fuentes de la cultura occidental, no se pueden establecer con certeza. Los testimonios arqueológicos sugieren que los primitivos habitantes del valle del Nilo estuvieron bajo la influencia de las culturas del Próximo Oriente, pero el grado de esta influencia está por determinar. Tanto la descripción del desarrollo de la civilización egipcia, como los intentos de identificar sus fundamentos intelectuales, son en gran parte una serie de conjeturas basadas en los descubrimientos arqueológicos de los restos de ruinas, tumbas y monumentos, la mayoría de los cuales contienen muestras muy valiosas de la cultura antigua. Las inscripciones en jeroglíficos, por ejemplo, han proporcionado datos de extrema importancia.

La base para el estudio del periodo dinástico de la historia egipcia, entre la primera dinastía y el periodo de los tolomeos, reside en el Aegyptiaca de Manetón, un sacerdote tolemaico del siglo III a.C., que organizó una lista de reyes dividida en 30 dinastías. Existe un acuerdo general sobre las divisiones de la historia egipcia, hasta la conquista de Alejandro III el Magno, en los imperios Antiguo, Medio y Nuevo con periodos intermedios, seguidos por los periodos tardío y de los tolomeos, fijados cronológica y genealógicamente gracias a los nuevos hallazgos y el uso creciente de sofisticados métodos de datación.

Fue la expedición de Napoleón a Egipto la que confirió el impulso suficiente al estudio de la civilización Egipcia. Acompañado de un equipo de sabios e investigadores, Bonaparte se encuentra en el origen de la egiptología. Fueron soldados franceses los que llevaron a cabo el más importante de los descubrimientos excavando fortificaciones cerca de Roseta, al este de Alejandría, extrajeron una piedra de basalto negro en la que había una inscripción en tres lenguas: griego, demótico y jeroglífico. La piedra de Roseta revelaba a los investigadores la traducción griega de un texto en escritura jeroglífica y en la vieja escritura popular egipcia (demótico).

El francés Jean-Francois Champollion y el inglés Thommas Young entre otros hicieron rápidos progresos en el desciframiento de los jeroglíficos, o grabados secretos. Las inscripciones que se encuentran en tumbas y monumentos egipcios, por su carácter con frecuencia de origen religioso, ceremonial e incluso familiar, no representan las mejores fuentes de información sobre los conocimientos matemáticos de los pueblos del valle del Nilo, de la misma manera en lo concerniente al calendario egipcio, los conocimientos matemáticos que se pueden deducir de el son muy limitados, ya que se refieren sobre todo al arte de contar y medir.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los conocimientos que tenemos sobre la matemática egipcia se  basan en 2 documentos: el papiro de Moscú, y el papiro de Rhind. El primero se encuentra en un museo de la ciudad de Moscú y el segundo en el Museo Británico de Londres. Este último debe su nombre al anticuario escocés Henry Rhind. Los papiros están compuestos de planteamientos de problemas y su resolución. En el papiro de Moscú tenemos 25 y 87 en el papiro Rhind.  Es de suponer que ambos tenían una intención puramente pedagógica, con ejemplos de resolución de problemas triviales. Los papiros datan del año 1650 a.C. (Rhind)  y 1800 a.C (Moscú), pero los conocimientos que en ellos aparecen bien podrían fecharse en el años 3000 a.C. El papiro Rhind es también conocido como papiro de Ahmes, escriba autor de la obra y comienza con la frase: "Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios". El papiro de Moscú es de autor desconocido. Otros papiros complementarios son el rollo de cuero, con 26 operaciones de sumas de fracciones de numerador 1, y los de Kahun, Berlín, Reiner y Ajmin.

Como en todos los aspectos cotidianos los egipcios fueron fieles a sus tradiciones, y la evolución producida a lo largo de 2000 o 3000 años fue mínima. En matemáticas los conocimientos demostrados a mediados del primer milenio eran posiblemente los mismos que en el tercer milenio. Las operaciones se realizaban de una determinada forma porque siempre se había hecho así. Los antiguos métodos de sumas, divisiones o resolución de ecuaciones simples se seguían empleando durante el Reino Nuevo, y hasta la llegada de la matemática griega.

En el papiro Rhind tenemos operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números enteros y fracciones, potencias, raíces cuadradas, resolución de problemas con una incógnita, áreas de triángulos y trapecios y cálculo de algunos volúmenes. Los métodos se usaban tal y como durante generaciones se habían aprendido sin más. Existía una fórmula para el cálculo de ciertas áreas o volúmenes igual que existía un método para sumar o restar., pero esa fórmula cometía los mismos errores de precisión que 1000 años antes y nadie se debió molestar en encontrar otra más precisa. ¿Por que?. ¿Quiere esto decir que la fórmula era lo bastante exacta para las mediciones cotidianas?. ¿Existía algún sistema de corrección de estos errores?. El cálculo de la superficie del círculo se realizaba como el cuadrado de 8/9 del diámetro. Si consideramos un círculo de radio 100 obtendríamos un valor de la superficie de 7901.23. Esto nos daría un valor de pi de 3.160492. Pi es un número irracional con un valor, considerando los primeros 7 decimales de 3.1415926. El valor  obtenido por los egipcios es realmente cercano, el error cometido es aproximadamente 2 centésimas (3.1625). Quiere esto decir que los egipcios conocían el número Pi. No tenemos constancia de que conociesen este valor de 3.1605 sino simplemente el método que empleaban para calcular la superficie del círculo.

Realmente, no se puede hablar de un único sistema de numeración, puesto que, de hecho, encontramos dos : el sistema jeroglífico, que utiliza jeroglíficos, y el sistema hierático, o sistema de los sacerdotes, que utiliza símbolos cursivos y que, en el siglo VII a.C., desembocará en el sistema demótico o sistema del pueblo, cursivo y en forma abreviada.

Para representar un número se incluían estos símbolos escribiéndolos de derecha a izquierda, y representando tantos de cada uno como unidades tuviese el número. El sistema es en base 10 pero no es posicional, sino aditivo. Así para representar el número 52 se escribía 2 veces uno y 5 veces 10 dando lugar a . Este sería el método más básico. Al igual que en la escritura se intentaba obtener una mejor representación gráfica, por lo que un número como 2235 no se escribiría

sino como

Vemos como incluso en la escritura de números se complica la transliteración precisamente por ese intento de que las representaciones fuesen lo más estéticas posibles. Si encontramos una representación del tipo:

El jeroglífico empleado para un millón se empleaba para designar también infinito o mucho. Este pronto cayó en desuso y se empleó otro método, consistente en representar el número como una serie de  operaciones aritméticas (sumas y multiplicaciones) de valores inferiores.

Cuando el número a representar va seguido de un sustantivo se escribía primero el símbolo correspondiente al nombre y luego el número ( en transcripciones se escriben los números 1 y 2 detrás del nombre y el resto antes que este ). Así para representar 2 jarras emplearíamos:

El nombre puede aparecer en su forma singular o plural, pero nunca si el número es 1 ó 2, o si se refiere a indicaciones de tiempo o medida. En estos casos aparece, como regla general, en singular.

Para representar el número 5417, en hierática se escribiría como:

• Analizar las fracciones unitarias egipcias y entender el desdoblamiento de fracciones, con el fin de llevarlas a una forma más sencilla y manejable, es decir, descomponerlas en suma de fracciones unitarias.
• Comparar los métodos actuales con los métodos usados por los egipcios, en cuanto a la forma de operar aritméticamente con fracciones unitarias.

• Se mostrara un resultado importante el cual nos dice que las fracciones egipcias tienen representación infinita y veremos cuales son los criterios que utilizaban los egipcios para saber cual era la mejor representación.
• Dar a conocer algoritmos que nos permitan conocer la suma de fracciones unitarias de cualquier fracción.

y tenía el sentido de un ordinal, nunca de un cardinal. Se traduciría, literalmente, como "parte 5". Las únicas excepciones eran 1/2, 2/3, 1/4 y 3/4, que se representaban con un jeroglífico especial:  (gs) "lado",  (rwy)  (Hsb) y  respectivamente. Así como los signos para 1/2, 2/3 y 1/4 si son frecuentes, raramente se empleó el de 3/4. En aritmética sólo se empleaba la fracción 2/3, que en hierática se representaba como . Era muy frecuente el uso de las fracciones denominadas "fracciones ojo de Horus" , que representaban cada una de las partes en las que fue seccionado el  ojo de Horus durante su batalla con Seth. Se empleaba para medir el trigo y la cebada fundamentalmente y equivalía a unos 4.8 litros. En mediciones más grandes, por ejemplo para almacenes se empleaba una unidad que podríamos llamar "100 heqat cuádruples". Cada una de las partes del ojo de horus era una fracción de heqat y se conocen como fracciones "ojo de Horus". La división era, considerando el ojo derecho

Las cejas equivalían a 1/8, la pupila era 1/4, la parte izquierda  de la pupila era 1/2, la parte derecha de la pupila era 1/16, la parte inferior vertical bajo el ojo era 1/32 y la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64.

Las fracciones con numerador distinto de 1 se reducían a sumas de fracciones conocidas, con numerador 1, pero siempre los sumandos tenían que ser diferentes. Cualquier cantidad se expresaba como una parte entera mas una suma de fracciones unitarias, y a lo sumo 2/3. El símbolo "+" no se empleaba y las fracciones aparecían secuencialmente. Lógicamente el problema era encontrar estas reducciones. Actualmente conocemos y podemos encontrar algoritmos de cálculo que nos permitan tales adiciones, pero hace 5000 años los escribas no conocían un método rápido para efectuar las transformaciones, por lo que se limitaban a emplear tablas ya escritas o a efectuar el proceso de división aprendido.

Posiblemente la tabla escrita por Ahmes no fuese producto de métodos empíricos, sino que sigue un razonamiento lógico. No pretendemos aquí hacer un análisis de la tabla 2/n de Ahmes, pero si podemos sacar algunas conclusiones del sistema de reducción.

• Lo primero que vemos es que todas las fracciones de la forma 2/3k están expresadas como suma de fracciones unitarias de la forma 1/2 + 1/6k.
• El segundo grupo lo forman las fracciones de la forma 2/5k en las que la reducción es 1/3k + 1/5k excepto la correspondiente a 2/95 (k= 19).

Lo que hace pensar que conocían ciertas relaciones matemáticas y quizá algún método para generar la tabla en el caso de números mayores.

Ahmes utilizaba el método del desdoblamiento para la reducción de fracciones:

Ejemplo: transformar 2/7

Se obtiene:

Desdoblamos 2/7 tenemos: 2/7 = 1/7 + 1/7

Desdoblamos 1/7 tenemos: 1/14 + 1/14

Desdoblamos 1/14 tenemos: 1/28 + 1/28

Entonces:

2/7 = 1/7 +1/7

= 1/14 + 1/14 + 1/7

= 1/28 + 1/28 + 1/14 + 1/7

= 1/28 + {1/28 + 1/14 + 1/7}

= 1/28 +1/4.

Esta no es la única descomposición en fracciones unitarias para 2/7 sin embargo es la más aceptable de acuerdo a los siguientes criterios que tal vez los escribas tomaban en cuenta para elegir la mejor fracción unitaria.

1. De todas las igualdades posibles, se aceptan aquéllas que poseen el menor número de fracciones, pero ninguna fracción debe tener un denominador mayor de 1000.
2. Se prefiere una igualdad de dos términos a una de tres, y una igualdad de tres términos a una de cuatro; de más de cuatro términos es inadmisible
3. Las fracciones unitarias se colocan por orden decreciente sin que se repitan nunca
4. La primera fracción es la menor posible, pero se aceptará una fracción ligeramente superior si esta permite reducir considerablemente la última fracción.
5. Las fracciones pares se prefieren, en general a las impares.

Ejemplo:

2/61 = 1/4 + 1/244 + 1/488 + 1/610

El método más sencillo para descomponer una fracción del tipo 2/n es 1/n +1/n, pero en las operaciones nunca se empleaban fracciones iguales, entonces Ahmes reducía todas las fracciones a suma de fracciones de numerador uno y dos.

Ejemplo:

Para escribir 7/29 realizaba las siguientes operaciones:

7/29 ; 7 = 2 +2+2+1

utilizaba la tabla para convertir 2/29 en suma de fracciones de numerador uno obteniendo:

7/29 ; 7 = 1/6 + 1/24 + 1/58 + 1/87 + 1/132 + 1/6 + 1/24 + 1/58 + 1/87 +

1/132 +1/6 + 1/24 + 1/58 + 1/87 + 1/132 + 1/29

7/29 ; 7 = 1/8 + 3/58 +1/58+3/232+1/29

= 1/8 + 1/29 +3/232+1/24+1/58+1/174+1/132

= 1/8 + 1/29 +1/29+1/24+1/174

= 1/6 + 1/174+1/24+1/58+1/174+1/132

= 1/6 + 1/24 + 1/87 + 1/58 +1/132.

Para multiplicar fracciones unitarias por 2/3, o por 1/3 se aplican las siguientes reglas:

-REGLA DE LA FRACCIÓN 2/3

Los dos tercios de cualquier fracción impar (o par) son iguales a 2 veces el denominador de la fracción más 6 veces el denominador de la fracción.

Ejemplo:

2/3 de 1/3 =

Según la regla de 2/3 es

+ 6 veces el denominador de la fracción = 1/18

Por lo tanto: 2/3 de 1/3 = 1/6 + 1/18

-REGLA DE LA FRACCIÓN 1/3

El tercio de cualquier fracción impar (o par) es igual a 4 veces el denominador de la fracción más 12 veces el denominador de la fracción.

Ejemplo:

1/3 de 1/5 =

Según la regla de 1/3 es

+ 12 veces el denominador de la fracción = 1/60

Por lo tanto: 1/3 de 1/5 = 1/20 + 1/60

Existen dos métodos para calcular la multiplicación de fracciones:

1.- La manera directa.

2.- Mediante el empleo de los "números rojos"

1.- MANERA DIRECTA.

Este método aparece en el problema número 9 del papiro Ahmes el cual consiste en aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

Ejercicio 9

Multiplicar (1/2+1/14)*(1+1/2+1/4)

Se multiplica cada fracción del primer multiplicando por cada una de las del segundo.
 

y el resultado es la suma de los resultados parciales de la columna derecha, es decir;

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/14 + 1/28 + 1/56

pero: 1/14 + 1/28 + 1/56 = 1/8

entonces: 1/2 + 1/4 + [ 1/8 + 1/8 ] = 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1/2 + 1/2 = 1

por los tanto:

(1/2+1/14)*(1+1/2+1/4) = 1

El ejemplo anterior es uno de los más sencillos pues no hay más que aplicar las divisiones por 2 que tan bien manejaban los egipcios y los resultados parciales constan de fracciones sencillas.

2.- MÉTODO DE LOS "NÚMEROS ROJOS".

Los números rojos son números auxiliares que aparecen de color rojo en el papiro Rhind.

El método de los números rojos es algo más complicado. Consiste en aplicar un número auxiliar ( el número rojo ) a cada una de las fracciones de la columna derecha cuando en esta se obtienen resultados no sencillos.

Calcular 1/28 * (1+ 1/2 + 1/4).

Este es el procedimiento seguido:

a).- Se aplica el método normal obteniendo:

1/28 partes de 28 es igual a 1
1/56 partes de 28 es igual a 1/2
1/112 partes de 28 es igual a 1/4

c).- Ahora hay que saber cuantas partes de 28 son iguales a 1+1/2+1/4, es decir ¿cual es el número por el que hay que multiplicar 1+1/2+1/4 para obtener 28?. Es decir hay que dividir 28 entre 1+1/2+1/4.

28/1+1/2+1/4

y el resultado es 16 ---->  1/16 partes de 28 es precisamente 1+1/2+1/4.

Para una mentalidad actual el método de los números rojos puede parecer una forma absurda de complicarse la vida, pero hay que tener en cuenta que aunque los egipcios controlaban las fracciones una expresión como la obtenida en el primer ejemplo si era fácil, pero una del tipo 1/28 1/56 1/112 no era considerada manejable, mientras que el concepto de 1/16 si podían controlarlo.

La resta de fracciones está explicada con ejemplos en los problemas 21 a 23 del papiro Rhind, y en todos se emplean los "números rojos".

Ejercicio:

Para hacer la operación 1 - (2/3 + 1 /30) se siguen los siguientes pasos:

2/3 + 1/30 partes de 30 es 21, y tenemos que: 30 > 21 en 9 unidades

Entonces hay que obtener cuantas partes de 30 dan 9.
i,e, 9/30

como 6+3 = 9 entonces la respuesta es 1/5 + 1/10.

La división de fracciones aparecen en los problemas 30 a 34 del papiro Rhind. En todos los problemas el escriba hace uso de los números rojos. Cabe señalar que no son problemas directos de divisiones, sino problemas en los que hay que aplicar estas divisiones.

Procedimiento:

Si queremos dividir N/D siendo D una fracción

a).- El método consiste en efectuar las duplicaciones sucesivas del denominador hasta que la siguiente duplicidad exceda el numerador, como en el proceso de división de números enteros.

b).- Se selecciona la mejor aproximación al numerador como suma de los valores obtenidos en la columna de la derecha, que llamaremos C.

c).- Se calcula la diferencia que resta (N-C).

d).-Ahora se trata de saber cuantas partes de D son iguales a C, que llamaremos F.

El resultado final será la suma de las cantidades de la columna de la izquierda mas este valor F.

Realizaremos un ejemplo.

Ejercicio 30;

Dividir 10 / (2/3 + 1/10).

En este caso:

Para obtener el resultado se hace lo siguiente:

Si ahora sumamos los valores de la derecha obtenidos para 1,4 y 8 obtenemos;

2/3 + 1/10 + 3 + 1/15 + 6 + 1/10 + 1/30 = 9 + 2/3 + 1/5 + 1/15 + 1/30

entonces:

C = N - 9 + 2/3 + 1/5 + 1/15 + 1/30

Por lo tanto:

Hay que ver ahora cuantas partes de D son iguales a C, es decir cuantas partes de 2/3 + 1/10 son iguales a 1/30

2/3 + 1/10 de 30 es 23 y 1/30 de 30 es 1 entonces 1/23 partes de 2/3 + 1/10 es igual a 1/30. -> F = 1/23,

El resultado de la división será por tanto;

Como en ejemplos anteriores en este caso hemos llegado a esta conclusión directamente para no reproducir todos los pasos necesarios, pero el escriba que quisiese hacer este problema aplicando los métodos que conocía hasta ese momento debía realizar gran cantidad de operaciones de multiplicaciones y restas de fracciones antes de obtener el resultado final.

Realmente es difícil suponer una aritmética basada en fracciones unitarias en nuestros días. Actualmente el concepto 5/8 nos es familiar, pero para los egipcios esto parecía representar un problema. Existen al menos dos razones por las cuales se pudieran utilizar las fracciones egipcias: son practicas y es mucho más fácil compararlas.

PROBLEMA: Suponemos que Fátima tiene 5 sacos de grano a repartir entre 8 trabajadores que le han ayudado en el campo.

• En términos de fracciones actuales cada trabajador recibirá

• En términos de fracciones egipcias Fátima observa que a cada uno de los trabajadores le corresponde por lo menos la mitad de un saco de grano y le queda por repartir un saco el cual lo divide en 8, así que cada trabajador consigue un octavo adicional.

Es decir:

Observemos que este concepto puede llegar a ser más sencillo para un niño que aprende a dividir un todo en n partes iguales

¿Cuál es más grande o ?

• Podríamos utilizar decimales de modo que:

&

por lo que

• También podríamos utilizar fracciones comunes, es decir:

&

y podemos ver fácilmente que

• Ahora usando fracciones egipcias, escribimos cada una como suma de fracciones unitarias:

observamos que es más grande por exactamente

Cada fracción se puede escribir como una suma de fracciones unitarias, y cada una de estas puede ser escrita de un numero infinito de maneras.

Un ejemplo para este hecho seria:

Sabemos que

observe que lo podemos escribir como suma de fracciones unitarias

primero consideremos

dividiendo entre 4 tenemos

de manera que podemos rescribir nuestra fracción egipcia para

pero ahora podemos hacer el mismo procedimiento para la fracción final entonces

de manera que:

y así podemos repetir el procedimiento una infinidad de veces.

Podemos concluir que si encontramos una manera de escribir como suma de fracciones unitarias, entonces podremos derivar tantas otras representaciones como deseemos.

Este algoritmo nos ayudara a encontrar como representar las fracciones de tipo como suma de exactamente dos fracciones unitarias, siempre y cuando B sea un numero impar (B = 2i+1).

Entonces tenemos que donde i = 1, 2, 3, ...

y conocemos que el desdoblamiento de las fracciones siguientes según el papiro de Rhind es:

Observemos que

Por ejemplo:

para i = 1

para i = 2

para i = 3

para i = 4

ahora solo resta por encontrar X ??

Nótese que X es el producto de ( 2i + 1 ) y ( i + 1 )

para i = 1 X = (2+1)(1+1) = 6

para i = 2 X = (4+1)(2+1) = 15

para i = 3 X = (6+1)(3+1) = 28

para i = 4 X = (8+1)(4+1) = 45

.

.

.

es decir:

entonces:

por lo tanto cualquier fracción de tipo puede ser representada como suma de exactamente dos fracciones unitarias siempre y cuando B sea impar.

TODO NUMERO RACIONAL PUEDE SER REPRESENTADO EN FORMA DE FRACCIONES UNITARIAS EGIPCIAS.

La prueba moderna del teorema fue descubierta en 1880, pero en Europa sé sabia representar los números racionales en fracciones unitarias egipcias desde Fibonacci en el siglo 12.

Primero suponga que ; ahora si P=1 el problema esta resuelto puesto que tendríamos una fracción unitaria; nuestro interés esta para cuando P>1.

El método consiste en encontrar la mejor fracción unitaria que podamos tener de

Veamos un ejemplo antes de presentar la demostración :

es menor que pero es más grande que

0

entonces tenemos que

ahora repetimos el proceso para

es más grande que

entonces

así que

Ahora demos la demostración formal:

P.D donde

y elegiremos el de manera que donde sea el más grande de los que existan

0

entonces

ahora

sabemos que

ahora es el numerador del residuo y acabamos de mostrar que es más pequeño que el numerador original P.

Podemos observar entonces que el numerador del residuo va decreciendo, de esta manera el algoritmo se detendrá cuando este sea 1, mientras esto sucede se seguirá aplicando el mismo proceso.

Aquí es la definición de un fibo en Maple que lleva a cabo el método de Fibonnaci para descomponer una fracción en una suma de fracciones unitarias. Este usa dos formulas en Maple en esta definición, numer, el cual da el numerador de su argumento y trunc que devuelve la parte del entero de su argumento. Este incluye la modificación establecida sobre las cuales garantiza una descomposición en una suma de fracciones unitarias con n> m.

> fibo := proc(x,m)
local z,l,i,n,k;
k := m+1;
z := x;
l := NULL;
for i while 1 < numer(z) or not l = NULL and z = l[-1]
do
n := max(k,trunc(1/z)+1);
k := k+1;
z := z-1/n;
l := l,1/n;
od;
l := [l,z];
end:

Para encontrar una descomposición de 5/23 en fracciones unitarias, entre

• ef := fibo(5/23,1);

Queremos escribir la fracción como una suma, pero convirtiendo la lista simplemente al tipo `+ ` no trabaja porque Maple suma las fracciones.

• convert(ef,`+`);

Podemos convertir el numerador y denominador de la fracción al tipo símbolo. Entonces las fracciones no se combinarán cuando se agregan. Symbolize toma el rendimiento de los fibo y el rendimiento de la suma de fracciones simbólicas.

> hastype(ef,list);

> symbolize := proc(frac,k)
local i,fracs;
fracs := frac;
if not hastype(fracs,list) then
fracs := fibo(frac,k) fi;
convert([seq(convert(numer(fracs[i]),symbol)/
convert(denom(fracs[i]),symbol),
i=1..nops(fracs))],`+`) end:

• symbolize(fibo(2/301,1),1);
• 

Es necesario poder convertir una fracción de la forma egipcia inerte a la forma activa. Eso es lo que hace activate.

> activate := proc(frac)
local n,m,i,j,k,bill,sam,nu,de,ans;
ans := 0;
if hastype(frac,`+`) then
for k from 1 to nops(frac) do
n := convert(numer(op(k,frac)),bytes);
m := convert(denom(op(k,frac)),bytes);
bill := [seq(48,i=1..nops(n))];
sam := [seq(48,i=1..nops(m))];
n := n - bill;
nu := convert([seq(n[nops(bill)-i]*10^i,i=0..nops(bill)-1)],`+`);
m := m - sam;
de := convert([seq(m[nops(sam)-i]*10^i,i=0..nops(sam)-1)],`+`);
ans := ans+nu/de;
od;
else
n := convert(numer( frac ),bytes);
m := convert(denom( frac ),bytes);
bill := [seq(48,i=1..nops(n))];
sam := [seq(48,i=1..nops(m))];
n := n - bill;
nu := convert([seq(n[nops(bill)-i]*10^i,i=0..nops(bill)-1)],`+`);
m := m - sam;
de := convert([seq(m[nops(sam)-i]*10^i,i=0..nops(sam)-1)],`+`);
ans := ans+nu/de;
fi;
ans;
end:

> activate(symbolize(2/1));

> `&ea` := (fr1,fr2) -> symbolize(activate(fr1)+activate(fr2),1);

> f2 := symbolize(1/5,1);

> f3 :=f1 &ea f2;

> activate(f3);

> b:=fibo(9/10,1);

> symbolize(13/10,1) ;

• El motivo por el cual los egipcios expresaban las fracciones como suma de fracciones unitarias es un misterio, así como el uso de la fracción 2/3 con la cual parecían tener mucha relación, ya que incluso tenían un símbolo especial para representarla.

• En matemática moderna se emplea el uso de fracciones unitarias en determinadas situaciones, y el argumento más convincente para el empleo por parte de los egipcios es la facilidad de dividir un todo en n partes.

• Lo que más nos asombro de este trabajo es la gran facilidad de los egipcios para operar con fracciones unitarias, así como el gran desarrollo matemático que se tuvo en esta época.

• Es obvio que los egipcios en algún momento se encontraron con los números irracionales, y en tal caso ¿qué hacían?. Hemos de suponer que no siempre obtenían un resultado para la división, y en ocasiones debían aproximarlos. Quizás también aproximasen en el caso de operaciones extremadamente largas o complicadas.

• Cuando hablamos de matemática egipcia, y más extensamente de ciencia egipcia, incluyendo todas sus ramas, debemos antes de nada hacer notar que a diferencia de la matemática babilónica o más tarde la griega, la matemática egipcia es ante todo empírica, o al menos esa es la única conclusión a la que podemos llegar después de analizar las fuentes. Si hay algo que caracteriza la ciencia del Antiguo Egipto es que se enseñaba a los escribas como durante siglos se había aprendido. No existen demostraciones de los métodos que se emplean, ni siquiera conocemos de donde surgen las fórmulas. Lo más que podemos ver son comprobaciones, pero nunca una demostración.